神秘的量子蛋糕
张静宁 2018年1月21日
量子厨房
假设我们有一个量子厨房，如下图.
厨房的两侧各有一扇门，由传送带将两个烤箱分别从厨房送到两侧. 厨房的两侧各有一个实验员，左边的是Lucy，右边的是Ricardo. 他们将会对自己这侧烤箱里的蛋糕进行测量，之后再聚在一起交流测量结果.
实验员可以对传送带上的烤箱做两种测量. 一种测量操作是等到烤箱到达传送带一端的尽头，然后打开烤箱，里面有一个蛋糕，他们可以尝尝蛋糕是否美味. 另一种测量操作，他们可以在烤箱运输中途打开烤箱，看看蛋糕糊是否已经膨胀.
然而，如果在运输中途打开烤箱，查看后关闭烤箱，会对蛋糕的烘焙造成影响，得到的蛋糕会总是很难吃. 因此，我们的测量只能得到一种结果——蛋糕美味与否，或者蛋糕糊在烘焙过程中膨胀的早晚，而不能同时知道. （因为一旦在中途打开烤箱，蛋糕就注定不美味，而不知道如果不打开烤箱会不会美味呢？）
Luch 和 Ricardo 将随机决定进行哪一种测量，并且记录他们的测量结果. 对比多次的实验结果，他们发现了奇怪的现象. 一共有三种测量情况，第一种，两个人都在中途打开的烤箱；第二种，只有一个人在中途打开烤箱，另一个人在传送带末端才打开；第三种，两个人都在传送带末端才打开烤箱. 以下是他们的观测结果：
- Lucy 和 Ricardo 都在中途打开烤箱查看，统计结果显示有 9% 的情况，两边蛋糕糊都是已经膨胀的（也就是膨胀的早）. 91% 的情况，要么只有一个膨胀，要么都没有膨胀.
- 当 Lucy 在中途查看烤箱，发现蛋糕糊已经膨胀；Ricardo 在末端打开烤箱，发现蛋糕很美味.
- 当 Ricardo 在中途查看烤箱，发现蛋糕糊已经膨胀；Lucy 在末端打开烤箱，发现蛋糕很美味.
注意到，2、3 的实验结果不禁让人产生推测，两边的蛋糕可能用的是同样的蛋糕糊做的，并且膨胀的太晚的蛋糕（中途打开烤箱查看，没有膨胀就算晚），就算没有被中途打开，也注定不好吃. 虽然事实上，膨胀晚的蛋糕也可能仍然美味，这两者可能没有必然联系.
再考虑一个这样的问题，如果 Lucy 和 Ricardo 都在传送带末端打开烤箱，看各自的蛋糕是否美味，会得到什么样的结果. 从 1 知道，9% 的情况两边的蛋糕糊都膨胀的早；那么当 Lucy 的蛋糕糊膨胀的早时，由 2 知道 Ricardo 的蛋糕美味，类似的当 Ricardo 的蛋糕糊膨胀的早时，由 3 知道 Lucy 的蛋糕美味. 因此，我们对这个问题的回答是至少有 9% 的情况两边的蛋糕都美味.
然而，量子蛋糕的结果却是：
- Lucy 和 Ricardo 都在末端打开烤箱，两个蛋糕都美味的情况从来没有发生过.
也就是说，总是至少有一个蛋糕是难吃的. 这与我们由 1、2、3 推得的结论矛盾了.
当然，以上情况只是我们的类比，现实生活中烘焙蛋糕不会真的出现这样的情况. 然而，相同的情况却能够在量子力学中对粒子的测量上出现. 比如，我们可以考虑两个（非最大）纠缠态的光子的偏振情况. 在蛋糕的例子种，我们考虑测量蛋糕的两种性质，美味与否和膨胀早晚. 在光子的例子中，相应于两种不同的偏振测量. 可以通过旋转偏振分束器，并将探测器放在两条光路出射口来实现. 当分束器成某一角度时，一个探测器的一个响应对应于蛋糕好吃，另一个探测器上的一个响应对应于蛋糕难吃. 当分束器旋转至另一个角度时，一个探测器上的一个响应对应于蛋糕糊已经膨胀，另一个探测器的一个响应对应于蛋糕糊没有膨胀. 比如蛋糕好吃和难吃分别对应于对应水平(0°)偏振、竖直（90°）偏振，膨胀和未膨胀分别对应于50. 8°、39. 2°的线偏振. 这样的实验，在量子力学中的确被成功进行了.
进一步讨论
再回到我们量子蛋糕的讨论.
我们很容易从 1、2、3 的结果得到 “ 9% 的情况下两边的蛋糕都好吃” 的结论. 假设厨房里的厨师长用经典蛋糕模型，为了得到 1 的结果，9% 的时候，他给两边用的都是快速膨胀蛋糕糊，另外 91% 的情况他不这么做. 为了避免得到两边都好吃的结果（4的情况），他需要动一些脑筋，比如：如何让快速膨胀的蛋糕糊产生难吃的蛋糕.
在我们先前的讨论中，我们无意的否认了非局部的影响. 就是说，我们假设了发生在一端的事件不会受到另一端的选择和事件的影响. 认为不管 Ricardo 做了什么样的测量，都不会对 Lucy 的蛋糕的味道造成影响. 但这确是量子纠缠和经典相互作用不同的地方：一边的实验依赖于另一边的实验结果，即使实验区域在空间上是分开的. 尽管如此，我们仍需强调——通过量子蛋糕来超光速传输信息是不可能实现的. 因为只有一小部分情况显示出相互作用的关联. 特别地，Lucy 测量得到某一特定结果的概率与 Ricardo 做什么样的测量没有关系，反之亦然.
再考虑一些情况. 如果传送带非常长，并且以极快地速度传输烤箱，那么 Lucy 做的任何测量都不会影响到 Ricardo 的测量结果（反之亦然），除非有某种超光速传播的影响. 比如这样一种假设，一边从烤箱里拿出蛋糕品尝的行为会导致噪音、振动，并且通过空气或者传送带结构传播到另一端，导致另一端的蛋糕变难吃. 为了这种假设不可能实现，可以将测量区域分开足够远，以至于声音传播需要很长的时间. 最后，为了不让厨师长对实验结果做什么特殊的设计，他不能提前知道两边将要采用什么测量方法.
显然，为了得到真实的实验结果，我们必须做尽量多的测量. 否则可能漏掉 9% 的两边都好吃的结果. 最后，我们还需要公平的取样.
9% 的概率是如何得到的
在量子力学中构造这样的量子态，将会得到符合 1 - 4 的预测
这里 B 和 G 分别表示 好吃（Good）和难吃（Bad）的本征态. 下标 L 和 R 分别表示左边 (Left/Lucy) 和右边(Right/Ricardo) 的状态. 同时，用 R 和 N 表示已膨胀（Risen）和未膨胀（Not risen）的本征态. 并且有
可以验证
以上 (1) ~ (4) 式分别对应两边都好吃概率为 0（即结论4），右边好吃左边难吃概率为$\frac{3}{8}$，左边好吃右边难吃概率也是$\frac{3}{8}$，两边都难吃概率为$\frac{1}{4}$，加起来概率为1.
还可以验证
(5)、(6)式也就是对两体系统做局部测量，对是否膨胀空间做测量，得到是否好吃的量子态. (5) 式说明 Lucy/左边膨胀，右边好吃（结论2），(6) 式说明 Ricardo/右边膨胀，左边好吃（结论3），也就是对应结论2、3. (7)式说明两边都膨胀概率为 9%，对应于结论1. (8)、(9)、(10) 式分别计算了两边同时在中途打开烤箱观测到另外三种结果的概率：两边都没有膨胀 64%、左边膨胀右边没有膨胀 13. 5%、右边膨胀左边没有膨胀 13. 5%. 四种情况加起来刚好是1.
References
[1] Kwiat, P. G. and Hardy, L. American Journal of Physics 68(1), 33–36 (2000)
吐槽，简书的Markdown太难用了吧，不支持数学公式编辑是什么鬼？？？我用在线网站把 Latex 公式变成图片才导入的。。
